Fiz alguns testes e acabei baixando o logSquid.log através do WinSCP e alterando-o para que fique bem pequeno. Por algum motivo, quando clicava para "Gravar Logs no Banco de Dados", mesmo o arquivo do logSquid.log com apenas 20 linhas, ocorria o seguinte erro:
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP Fatal error: Allowed memory size of 134217728 bytes exhausted (tried to allocate 367 bytes) in /usr/local/www/logsquid/class/logsquid.inc on line 66
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP Stack trace:
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP 1. {main}() /usr/local/www/logsquid/functions/conectclass.php:0
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP 2. writelogs() /usr/local/www/logsquid/functions/conectclass.php:55
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP 3. require_once() /usr/local/www/logsquid/functions/conectclass.php:273
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP 4. logdaemon->__construct() /usr/local/www/logsquid/daemon/logdaemon.inc:69
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP 5. logdaemon->readLog() /usr/local/www/logsquid/daemon/logdaemon.inc:18
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP 6. logsquid->readTypeLog() /usr/local/www/logsquid/daemon/logdaemon.inc:58
[17-Jan-2017 12:04:45 America/Sao_Paulo] PHP 7. exec() /usr/local/www/logsquid/class/logsquid.inc:66
Então tentei fazer algumas alterações como inserir o ini_set("memory_limit", "512M"); no logsquid.inc e também no Graph.inc e no logdaemon.inc e nenhuma dessas opções funcionaram.
A única maneira de fazer funcionar foi alterando o /etc/rc.php_ini_setup e adicionando memory_limit = 512M logo abaixo da linha ; File generated from /etc/rc.php_ini_setup.
Consegui gravar no banco de dados mas depois tive que aumentar o memory_limit para 1024M. Parece que o logSquid está usando muito mais recursos do que o necessário para realizar esse procedimento.
Enfim, depois de fazer essa alteração vou verificar se vai gravar automaticamente, mas pelo menos manualmente voltou a funcionar.